Räuber und Beute

Aufbauend auf der Rechenvorschrift zur Simulation der Populationsgröße einer Spezies führen wir nun eine Räuber-Beute-Beziehung ein. Um genauer zu sein: Wir untersuchen ein System bestehend aus zwei Spezies, nämlich die Beute-Spezies und die Räuber-Spezies, die miteinander interagieren.

Als anschauliches Beispiel kann man sich ein System aus Fischen 🐟 (Beute) und Haien 🦈 (Räuber) vorstellen. Um das Modell so einfach wie möglich zu halten, treffen wir einige Annahmen:

  • Ohne äußere Einflüsse (bzw. Interaktionen) wird sich die Beute-Spezies (Fische) beliebig vergrößern.
  • Ohne äußere Einflüsse (bzw. Interaktionen) wird die Räuber-Spezies (Haie) aussterben (verhungern).
  • Falls Räuber- und Beute-Spezies aufeinander treffen, so wird die Beute von den Räubern gefressen.

Um dieses System modellieren zu können, bezeichnen wir mit X(t)X(t) die Populationsgröße der Beute-Spezies und mit Y(t)Y(t) die Populationsgröße der Räuber-Spezies. Zudem benötigen wir insgesamt vier Parameter:

a0a\geq 0Reproduktionsrate der Beute-Spezies
b0b\geq 0Sterberate der Räuber-Spezies
c0c\geq 0Sterberate der Beute pro Räuber
d0d\geq 0Reproduktionsrate der Räuber pro Beute

Zunächst ohne Berücksichtigung der Interaktionen zwischen den beiden Spezien ergibt sich damit die folgende Rechenvorschrift:

Xk+1=Xk+aXkhYk+1=YkbYkh\displaystyle \begin{array}{rcl}X_{k+1}&=&X_k+a\cdot X_k\cdot h\\[6px]Y_{k+1}&=&Y_k-b\cdot Y_k\cdot h\end{array}

Wie zuvor können damit die Populationsgrößen der beiden Spezies (iterativ) berechnet werden, sofern X(0)X(0) und Y(0)Y(0) bekannt sind. Interessant wird das Modell aber erst dann, wenn die beiden Spezies aufeinandertreffen. Daher ergänzen wir die Rechenvorschrift folgendermaßen:

Xk+1=Xk+aXkhcXkYkhYk+1=YkbYkh+dXkYkh\displaystyle \begin{array}{rcl}X_{k+1}&=&X_k+a\cdot X_k\cdot h-c\cdot X_k\cdot Y_k\cdot h\\[6px]Y_{k+1}&=&Y_k-b\cdot Y_k\cdot h+d\cdot X_k\cdot Y_k\cdot h\end{array}

Die Parameter cc und dd sind jeweils (neben der Schrittweite hh) mit

XkYk\displaystyle X_k\cdot Y_k

zu multiplizieren, um die Interaktion zu modellieren: Je größer dieses Produkt, desto mehr Interaktionen finden in Abhängigkeit der Parameter cc und dd statt.

Simulation
Zunächst werden sämtliche Parameter definiert, bevor eine Simulation anhand der Rechenvorschrift durchgeführt werden. Das Ergebnis wird als Punktliste dargestellt.
Quiz

Experimentiere mit den Parametern im Quellcode zuvor und beantworte folgende Fragen:

Was passiert, falls die Sterberate der Räuber-Spezies auf b=0.0 gesetzt wird?
Beute-Spezies stirb aus
Räuber-Spezies stirb aus
beide Spezien sterben aus
Was passiert, falls a=0.0 und d=0.0 gesetzt wird?
Beute-Spezies stirb aus
Räuber-Spezies stirb aus
beide Spezien sterben aus
Simulationanalyse