taralino

Simulation

Nach den eher theoretischen Herleitungen können wir nun eine erste Simulation durchführen. Wir verwenden die zuvor hergeleitete Rechenvorschrift

\displaystyle \begin{array}{rcl}S_{k+1}&=&S_k-(a/N)\cdot S_k\cdot I_k\cdot h\\[8px]I_{k+1}&=&I_k+(a/N)\cdot S_k\cdot I_k\cdot h-c\cdot I_k\cdot h\\[8px]R_{k+1}&=&R_k+c\cdot I_k\cdot h\end{array}

mit den folgenden Parametern:

$N$	$=$	$1000$	Anzahl der Individuen der gesamten Population
$u$	$=$	$0.01$	Anteil der (anfangs) infizierten Individuen
$a$	$=$	$0.1$	Kontaktrate
$c$	$=$	$0.04$	Genesungsrate

Die Anfangsbedingungen lauten

\displaystyle S_0~=~(1-u)\cdot N,~~~~~~I_0~=~u\cdot N,~~~~~~R_0~=~0

und mit $u=0.01$ bedeutet dies, dass genau ein Prozent der Individuen der Population zum Startzeitpunkt der Simulation infiziert ist.

Simulation

Zunächst werden sämtliche Parameter definiert, bevor eine Simulation anhand der Rechenvorschrift durchgeführt werden. Das Ergebnis wird als Punktliste dargestellt.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <script src="taralino.js"></script>
</head>
<body>
<script>

/**** Parameter ****/

// Individuen der gesamten Population
var N = 1000;

// Anteil der (anfangs) infizierten Individuen
var u = 0.01;

// Kontaktrate
var a = 0.1;

// Genesungsrate
var c = 0.04;

// Schrittweite, positive Zahl
var h = 0.5;

// Endzeitpunkt der Simulation
var T = 200.0;


/**** Simulation ****/

// Zeitvariable
var t = 0.0;

// zeitlicher Verlauf S
var s = (1-u)*N;
var S = [[t, s]];

// zeitlicher Verlauf I
var i = u*N;
var I = [[t, i]];

// zeitlicher Verlauf R
var r = 0;
var R = [[t, r]];

// Zeitschritte berechnen
while (t < T) {
  t = t + h;
  s = s - (a/N)*s*i*h;
  i = i + (a/N)*s*i*h - c*i*h;
  r = r + c*i*h;
  S.push([t, s]);
  I.push([t, i]);
  R.push([t, r]);
};


/**** Ergebnis darstellen ****/

Plot.init(640, 300, {axis:["Anzahl der Individuen", "Zeit (S = blau, I = rot, R = gruen)"], scaling:"off"});
Plot.list(S);
Plot.list(I);
Plot.list(R);
Plot.draw();


</script>
</body>
</html>

xxxxxxxxxx
 
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <script src="taralino.js"></script>
</head>
<body>
<script>
​
/**** Parameter ****/
​
// Individuen der gesamten Population
var N = 1000;
​
// Anteil der (anfangs) infizierten Individuen
var u = 0.01;
​
// Kontaktrate
var a = 0.1;
​
// Genesungsrate
var c = 0.04;

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Quiz

Betrachte das Simulationsergebnis unter Verwendung der oben definierten Parameter.

Zu welchem Zeitpunkt sind die meisten Individuen gleichzeitig infiziert?

120

Wie groß ist der Anteil der Individuen, die sich vermutlich niemals infizieren werden (ungefähr)?

10%

90%

100%