taralino

Die Transitionsfunktion

Dank der Vorbereitungen kommen wir nun zum eigentlichen Kern des Modells, nämlich zur Durchführung eines Simulationsschrittes. Dazu wird das Spielfeld in Abhängigkeit einer sogenannten Transitionsfunktion verändert:

Beim Smooth Life möchten wir ein kontinuierliche (stetige) Transitionsfunktion definieren:

Hierzu gibt es viele Möglichkeiten und wir stellen die ursprünglich vorgeschlagene Darstellung vor:

Die Transitionsfunktion wird durch ingesamt sechs Parameter definiert:

Intervall , welches die Reproduktion beschreibt
Intervall , welches ein Überleben sicherstellt
Parameter und zur Beschreibung der Übergänge

Je kleiner die Werte und , desto näher ist die Transitionsfunktion an einem diskreten Modell.

Auch hier wollen wir gar nicht im Detail darauf eingehen, wie die Transitionsfunktion mathematisch beschrieben werden kann (zur Anwendung kommen hier verschachtelte Sigmoid-Funktionen). Stattdessen dient der folgende Quellcode, um insbesondere Erfahrungen mit den Parametern zu sammeln.

Vergleich zum Game of Life

Auch die Regeln des Game of Lifes können unter Verwendung einer Transitionsfunktion beschrieben werden:

Dabei handelt es sich um eine diskrete Transitionsfunktion, wobei und gilt.

Quellcode

Es wird eine Transitionsfunktion in Abhängigkeit der Parameter dargestellt.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <script src="taralino.js"></script>
</head>
<body>
<script>

/*************************************************
  parameter
*************************************************/

var A = [0.278, 0.365];
var B = [0.267, 0.445];
var alpha_n = 0.028;
var alpha_m = 0.147;



/*************************************************
  transition
*************************************************/

function transition(n, m) {
  function s(z, a, u) {
    return 1/(1+Math.exp(-4*(z-a)/u));
  };

  function s1(a, b, u) {
    return s(n,a,u) * (1-s(n,b,u));
  };

  function s2(a, b, u) {
    return a*(1-s(m,0.5,u)) + b*s(m,0.5,u);
  };

  return s1(s2(A[0], B[0], alpha_m), s2(A[1], B[1], alpha_m), alpha_n);
};



/*************************************************
  main
*************************************************/

var Q = [];
for (var y = 0.0; y <= 1.0; y+=0.005) {
  Q.push([]);
  for (var x = 0.0; x <= 1.0; x+=0.005) Q[Q.length-1].push(transition(x,y));
};

var c = Q.length;
Grid.init(c, c, {style:"canvas", zoom:2});
var P = Picture.colorize(Q, [0,0.3,1], [[3,12,20],[26,124,208],[66,188,53]]);
for (var i = 0; i < c; i++) for (var j = 0; j < c; j++) Grid.pixel(j, i, P[i][j]);
Grid.draw();


</script>
</body>
</html>

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Codingaufgabe

Der Quellcode zuvor veranschaulicht die Transitionsfunktion

in Abhängigkeit der genannten Parameter.

Verändere die Parameter im Rahmen der zulässigen Bereiche und schaue dir die Transitionsfunktion an.
Analysiere experimentell, welchen Einfluss die Parameter und haben.
Verwende die Parameter A=[2.5/8, 3.5/8] und B=[1.5/8, 3.5/8] sowie ==0.001 und überlege, warum diese Wahl der Parameter dem Game of Life sehr ähnlich ist.