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Benötigte Vorkenntnisse

Mit der Singulärwertzerlegung lernen wir ein zentrales Verfahren der numerischen Mathematik kennen, welches vielseitig eingesetzt werden kann. Im Data Science beispielsweise spielt die Hauptkomponentenanalyse eine wichtige Rolle: Hier wird eine Singulärwertzerlegung auf die Kovarianzmatrix der Datenmatrix angewandt, um die Daten sinnvoll zu reduzieren oder ein Rauschen herauszufiltern. Darauf gehen wir in einem nachfolgenden Kurs genauer ein.

Um die Singulärwertzerlegung verstehen zu können, werden jedoch einige Kenntnisse der linearen Algebra vorausgesetzt. Du solltest daher insbesondere mit folgenden Konzepten und Rechenoperationen vertraut sein:

(n × n)-Einheitsmatrix
Matrix-Vektor-Multiplikation
Matrix-Matrix-Multiplikation
Matrix transponieren

Zudem ist es hilfreich, zu wissen, was orthogonale Matrizen sind. Dies werden wir jedoch auch wiederholen.

Literaturempfehlung

Grundlagen der numerischen linearen Algebra samt Verfahren zur Bestimmung einer Singulärwertzerlegung können in folgendem Buch nachgeschlagen werden:

D. Scholz. 2016. Numerik interaktiv - Grundlagen verstehen, Modelle erforschen und Verfahren anwenden mit taramath. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.

Aufgabe

Wenn dir die folgenden Aufgaben keine größeren Schwierigkeiten bereiten, dann hast du sicherlich genügend Vorwissen, um diesen Kurs verstehen zu können.

Gegeben seien die folgenden Matrizen:

Führe folgende Berechnungen durch:

Bestimme das Produkt von und , berechne also .
Bestimme mit die transponierte Matrix von und berechne .
Gibt die (4 × 4)-Einheitsmatrix an.

Als Zusatzaufgabe kannst du prüfen, ob orthogonal ist.

Aufgabe

Das LinearAlgebra-Paket stellt diverse Funktionen der linearen Algebra bereit:

Zur Referenz

Mache dich mit dem Paket vertraut und überprüfe deine Ergebnisse der Rechenaufgabe zuvor.